01 февраля 2012 года в МГТУ имени Баумана к.т.н., доцент Маничев В.Б. выступил на 9-й всероссийской конференции «Эффективные методы автоматизации подготовки и планирования производства» с докладом тему: «SADEL – библиотека «сверхточных» решателей алгебраических и дифференциальных уравнений». Соответствующая статья будет опубликована в трудах конференции (уже сейчас доступна в разделе «материалы»).
Маничев В.Б.:
Основное возражение состояло в том, что системы ОДУ, приведенные к нормальной форме Коши, разрешенной относительно производных, имеют известный физический смысл и тщательно исследованы, а математические модели в форме систем ДАУ, для которых разработана соответствующая программа-решатель в SADEL, еще не исследованы.
Мои аргументы:
1. Профессор СПбГУ Петров Юрий Петрович в своих книгах показал, что общепринятые (известные со средней школы) эквивалентные преобразования систем алгебраических и дифференциальных уравнений (умножение-деление на число, не равное нулю, сокращение подобных членов уравнений, по членное аналитическое дифференцирование уравнений и т.п.), которые тотально применяются в инженерных методиках расчетов, могут существенно изменять свойства исходных систем и давать неверный результат математического моделирования реальных систем и объектов при изменении их параметров. Для сверхжестких и сверх колебательных классов задач получаемое даже для номинальных значений параметров решение с помощью известных математических программ иногда сильно отличается от корректного, достоверного и точного решения. Главными недостатками решателей систем ОДУ-ДАУ, используемых для анализа динамических процессов при проектировании и управлении и разработанных в лучших зарубежных программных системах, являются требования приведения систем ДАУ к системам ОДУ, что требует обязательных эквивалентных преобразований исходных уравнений, и возможная выдача ошибочных результатов компьютерных вычислений для вышеуказанных классов задач без предупреждения пользователей об их недостоверности. Разработка программной системы ПА10 (SADEL-PA10) направлена на устранение именно этого недостатка. Мы отказались от общепринятого приведения систем ОДУ к нормальной форме Коши, разрешенной относительно производных, отказались от явных методов интегрирования систем ОДУ — применяем только неявные методы интегрирования систем ОДУ, отказались от численных эквивалентных преобразований — используем только символьные эквивалентные преобразования и перестановки строк и столбцов матриц коэффициентов при решении СЛАУ. В результате мы получаем только корректные, достоверные и точные результаты решения систем ДАУ и СЛАУ, включая сверхжесткие, сверх колебательные и плохо обусловленные.
2. При математическом моделировании динамических процессов в реальных технических системах и объектах состояние этих систем и объектов обычно рассматривают в пространстве дифференцируемых переменных или в пространстве «переменных состояния» с получением в явном аналитическом виде производных этих переменных по времени, но этого недостаточно для достоверного и точного математического моделирования реальных технических систем и объектов, так как любой дифференцируемой переменной состояния в реальном мире обычно соответствует алгебраическая переменная. Например, в электрике и электронике переменным состоя-ния, напряжениям на емкостях и токам через индуктивности, соответствуют алгебраические переменные, токи через емкости и напряжения на индуктивностях, в механике переменным состояния, скоростям тел опреде-ленной массы, соответствуют алгебраические переменные, соответствующие силы инерции, и т.д. и т.п., поэтому состояние реальных динамических систем и объектов следует рассматривать в пространстве «дифференциально-алгебраических переменных». Основным физическим свойством алгебраических переменных является возможность идеального скачка зна-чения этих переменных в бесконечно малый отрезок времени, в то время, как для дифференцируемых переменных состояния такие скачки не возможны, поэтому общепринятое приведение систем ДАУ к системам ОДУ в нормальной форме Коши с преобразованием алгебраических переменных в дифференцируемые переменные состояния физически неверно и полученная таким образом математическая модель динамических процессов в реальных технических системах и объектах будет физически не достоверна. Аналитические доказательства достоверности и точности математического моделирования считаются «истиной в последней инстанции», но аналитические доказательства справедливы только на бумаге и только для не жестких и хорошо обусловленных систем ОДУ и СЛАУ, при реализации на компьютере ограниченная разряд-ная сетка сводит на нет многие доказательства. Истиной в последней инстанции мы считаем только вычислительные эксперименты на компьютерах. Например, на бумаге (1/3 + 1 — 1) х 3 = 1 (последовательность арифметических операций при решении СЛАУ методом Гаусса), но после вычислений на языке Си со стандартной для математических пакетов удвоенной точностью (double precision) получим 0.99999999999999978000000000000000. Аналитически умножение квадратной матрицы с постоянными коэффициентами на обратную равно единичной матрице, но для плохо обусловленных матриц при вычислении на компьютере единичную матрицу мы не получим.
-
Новости
Разделы